Generación de benchmark para el sistema de pensiones en Chile, un enfoque basado en Optimización Estócastica
Giorgiogiulio Parra
En Chile el sistema de pensiones, es un mecanismo de previsión y protección social, que a través del ahorro e inversión, genera el capital para la futura pensión de vejez o potencial pensión de invalidez. Adicionalmente, el sistema ha generado externalidades positivas, por sus regulaciones en composición de inversión, lo que se traduce en un gran volumen de capital que ha dado liquidez al mercado, y en parte, ha facilitado el desarrollo económico.
 
En línea con lo anterior, la administración de las inversiones a largo plazo, en pos de la rentabilidad de los fondos de los afiliados, y en particular, la administración del riesgo que estas inversiones implican, es un aspecto que abre grandes oportunidades de mejora y perfeccionamiento, migrando de la imitación de estrategias actualmente existente en la industria, a una lógica de administración de riesgo-retorno.
 
El problema de inversión óptima es un área extremadamente explorada y desarrollada, que presenta diversos enfoques y ramificaciones, en su sistematización, es considerado como trabajo original de la llamada Teoría Moderna de Portafolios, el trabajo de “Markowitz en 1952”, donde se define un problema de optimización que minimiza la varianza, como medida de dispersión, y por ende “proxy” de riesgo, sujeta a restricciones que definen un portafolio de inversión, y a una rentabilidad esperada. El enfoque anterior, al ser evaluado en el contexto del cumplimiento de axiomas básicos esperables, de la cuantificación del riesgo en condiciones generales, es insuficiente, basta con pensar en eventos aleatorios asimétricos, donde la simple dispersión no dice mucho. Un ejemplo sencillo de lo anterior, es observar una variable que presenta fuertes caídas, pero usualmente tiene un crecimiento suave constante.
 
Como respuesta a lo anterior, se desarrolló un marco sistemático y riguroso, de condiciones esperable de una llamada “Medida de Riesgo”, en esta área han surgido diversos desarrollos, originando diferentes familias de medidas, cada una de ellas con un origen particular, que se traduce en diferentes definiciones del “riesgo”.
 
De lo expuesto anteriormente, resulta natural proponer utilizar esta sistematización, en el problema de optimización de las inversiones en Fondos de Pensión en Chile, en particular, como propuesta de un índice base de referencia de rentabilidad. Este nuevo índice, se complementaría con el actual promedio de los demás agentes, permitiendo evaluar el desempeño, con un enfoque de optimización enfrentando iguales restricciones, información y condiciones de mercado, cuantificando la habilidad de los agentes, y no condiciones erráticas de mercado, o su habilidad de imitación.
 
Metodológicamente se exploran dos familias de medidas: las medidas espectrales, con sus representantes: Valor Esperado, Condicional Value at Risk (CVaR) y una combinación convexa de ambas; y la medida Entrópica. CVaR se incorpora como generalización convexa, y por ello optimizable del conocido, y utilizado en la industria Value at Risk (VaR), conservando su fácil interpretación.
La resolución del problema de optimización que implementa la Medida de Riesgo Entrópica, constituye el principal aporte metodológico. Para su resolución, al igual que para las demás medidas, se empleó la metodología de resolución de problemas estocásticos Sample Average Aproximation (SAA), obteniendo de él garantías estadísticas de convergencia estocástica. Adicionalmente, para la medida Entrópica fue necesario desarrollar una metodología de aproximación y ajuste de cortes locales, que permitió resolver en instancias de prueba, con un error estocástico relativo menor al 0.1%.
 
La medida de riesgo Entrópica es la única medida que cumple consistencia en la aditivita, es decir el problema original puede ser fragmentado en sub problemas aditivos, con igual solución original. En el contexto de inversiones garantiza la consistencia de resolver una inversión de diez etapas, como una secuencia iterativa de diez problemas de una etapa.
 
Como resultado del trabajo, se desarrolló una metodología aplicable y replicable para la generación de una referencia de inversión (benchmark). Metodológicamente se desarrolló un algoritmo vía generación y ajuste de cortes en la aproximación de la vecindad de la región óptima, para la adecuada resolución de la medida de riesgo Entrópica.
 
Con los modelos desarrollados, se realizaron diversos experimentos computacionales, cada uno de ellos respondiendo diferentes preguntas e hipótesis. En particular se evaluó la convergencia y tiempos de resolución de los diferentes modelos, conceptos como la correlación, distribuciones con colas gordas simétricas y asimétricas, y la comparativa y pertinencia de métodos más sofisticados frente al clásico enfoque de “Markowitz”. Adicionalmente, con datos diarios históricos del fondo A, desde el año 2003 al 2013, se resuelve a modo de referencia, el problema de optimización.
 
Se concluyó que ante instancias simétricas, las soluciones generadas por las diferentes medidas coinciden para algún nivel de aversión. En particular, la noción clásica de dispersión es suficiente. No obstante, ante una instancia asimétrica las diferentes nociones de riesgo se diferencian. Por otro lado, el efecto de la correlación en la instancia normal multivariada evaluada, sólo generó un desplazamiento de los parámetros de aversión de las medidas, efecto semejante a lo ocurrido en distribuciones simétricas con colas gordas. Es importante hacer notar, que la definición de cola gorda empleada hace referencia al concepto de fat-tail, donde se hace la diferencia con una distribución normal. Y por el contrario, las heavy-tail usa de referencia un decaimiento exponencial de las colas.
 
La metodología SAA mostró ser un marco de desarrollo y resolución, con garantías estadísticas de convergencia, muy sólida y general en su aplicación, con la única desventaja directa de una necesidad de computo mayor. Por otro lado, el enfoque adoptado de aproximar las restricciones exponenciales como una secuencia de cortes lineales generados y ajustados en la misma ejecución, dicho como resultado una solución efectiva y extensible a otro tipo de problemas no lineales, convexos, y de fácil separación, como fue la suma de exponenciales.
 
Finalmente, a la conocida interpretación de la medida de riesgo Entrópica, como una distorsión de la medida de probabilidad para los casos más desfavorables, se le agrega la evidente interpretación, como observación de una expansión de Taylor, y de su comportamiento en los diferentes experimentos, como una ponderación de los diferentes momentos de la distribución por las potencias del término de aversión. Ello resulta coherente con la conclusión antes expuesta de distribuciones simétricas normales, donde los primeros dos momentos de la distribución son suficientes, para la descripción total de la variable.
 
 
 

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